Kim Jisong

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Shortest Path

Introduction

다익스트라 알고리즘

다익스트라(Dijkstra) 최단 경로 알고리즘은 그래프에서 여러 개의 노드가 있을 때, 특정한 노드에서 출발하여 다른 노드로 가는 각각의 최단 경로를 구해주는 알고리즘

  • 출발 노드를 설정한다.
  • 최단 거리 테이블을 초기화한다.
  • 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택한다.
  • 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블을 갱신한다.
  • 위 과정에서 3과 4번을 반복한다.

간단한 다익스트라 알고리즘

import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9)  # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력 받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력 받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]
# 방문한 적이 있는지 체크하는 목적의 리스트를 만들기
visited = [False] * (n + 1)
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)

# 모든 간선 정보를 입력 받기
for _ in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split())
    # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
    graph[a].append((b, c))

# 방문하지 않은 노드 중에서, 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환
def get_smallest_node():
    min_value = INF
    index = 0   # 가장 최단 거리가 짧은 노드(인덱스)
    for i in range(1, n + 1):
        if distance[i] < min_value and not visited[i]:
            min_value = distance[i]
            index = i
    return index

def dijkstra(start):
    # 시작 노드에 대해서 초기화
    distance[start] = 0
    visited[start] = True
    for j in graph[start]:
        distance[j[0]] = j[1]
    # 시작 노드를 제외한 전체 n - 1개의 노드에 대해 반복
    for i in range(n - 1):
        # 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 꺼내서, 방문 처리
        now = get_smallest_node()
        visited[now] = True
        # 현재 노드와 연결된 다른 노드를 확인
        for j in graph[now]:
            cost = distance[now] + j[1]
            # 현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[j[0]]:
                distance[j[0]] = cost

# 다익스트라 알고리즘 수행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n + 1):
    # 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
    if distance[i] == INF:
        print("INFINITY")
    # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
    else:
        print(distance[i])

개선된 다익스트라

우선순위큐 사용 기존 list 방식으로 되어있는 자료구조를 heapq를 이용하여 구현

import heapq
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9)  # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력 받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력 받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)

# 모든 간선 정보를 입력 받기
for _ in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split())
    # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
    graph[a].append((b, c))

def dijkstra(start):
    q = []
    # 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여, 큐에 삽입
    heapq.heappush(q, (0, start))
    distance[start] = 0
    while q:    # 큐가 비어있지 않다면
        # 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
        dist, now = heapq.heappop(q)
        # 현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시
        if distance[now] < dist:
            continue
        # 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
        for i in graph[now]:
            cost = dist + i[1]
            # 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[i[0]]:
                distance[i[0]] = cost
                heapq.heappush(q, (cost, i[0]))

# 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n + 1):
    # 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
    if distance[i] == INF:
        print("INFINITY")
    # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
    else:
        print(distance[i])

Example

https://www.acmicpc.net/step/26

최단경로

import heapq
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9)

# reset V & E
V, E = map(int,input().split())
K = int(input())
graph = [[] for i in range(V+1)]
distance = [INF]*(V+1)

# reset (u, v, w)
for _ in range(E):
    u, v, w = map(int, input().split())
    graph[u].append((v,w))

def dijkstra(start):
    q = []
    heapq.heappush(q, (0, start))
    distance[start] = 0
    while q:
        dist, now = heapq.heappop(q)
        if distance[now] < dist:
            continue
        for i in graph[now]:
            cost = dist + i[1]
            if cost < distance[i[0]]:
                distance[i[0]] = cost
                heapq.heappush(q, (cost, i[0]))

dijkstra(K)

for i in range(1, V+1):
	if distance[i] == INF:
		print("INF")
	else:
		print(distance[i])

특정한 최단경로

특이사항

  • 양방향 길 존재
  • 경로가 존재
    • 1 -> v1 -> v2 -> N
    • 1 -> v2 -> v1 -> N
import heapq
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(2e18)

N, E = map(int,input().split())
graph = [[] for i in range(N+1)]

for _ in range(E):
    a, b, c = map(int,input().split())
    graph[a].append((b,c))
    graph[b].append((a,c))

v1, v2 = map(int,input().split())

def dijkstra(start):
    q = []
    heapq.heappush(q, (0, start))
    distance = [INF]*(N+1)
    distance[start] = 0
    while q:
        dist, now = heapq.heappop(q)
        if distance[now] < dist:
            continue
        for i in graph[now]:
            cost = dist + i[1]
            if cost < distance[i[0]]:
                distance[i[0]] = cost
                heapq.heappush(q, (cost, i[0]))
    return distance

# print(dijkstra(1))
# print(dijkstra(v1))
# print(dijkstra(v2))

res_start = dijkstra(1)
res_v1 = dijkstra(v1)
res_v2 = dijkstra(v2)

# 1 -> v1 -> v2 -> N
# 1 -> v2 -> v1 -> N

ans = min(res_start[v1] + res_v1[v2] + res_v2[N], res_start[v2] + res_v2[v1] + res_v1[N])

if ans < INF:
    print(ans)
else:
    print("-1")

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TODO

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